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二叉树模型的介绍及应用

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2015-07-02 11:09:07 来源:和讯网  作者:银河期货“权银河”期权团队

   二叉树/二项树期权定价模型(binomial options pricing model)

  在金融中,二项树期权定价模型提供了一个期权定价的通用数量模型。二项树模型最早由Cox, Ross, Rubinstein于1979年提出。这个模型使用了标的资产价格随时间变化的离散时间模型。

  二项树期权定价模型的应用非常广泛,因为它能够在很多情况下使用,而其他模型往往只能针对特定的情况。广泛的应用性是因为二项树期权定价模型基于标的资产在一段时间内的变化,而非一个时间点的价格。因此,二项树期权定价模型可以用于可在任意时间行权的美式期权的定价,也可应用于可在一系列特定时间行权的百慕大期权的定价。因为它的简单性,二项树期权定价模型已经被内置于众多软件中。

  虽然计算要慢于布莱克-舒尔斯-墨顿模型(BSM Model),但是二项树期权定价模型更加准确,特别是应用于时间长且会有分红的股票期权。


  二项树期权定价模型的应用

  第一步:创建价格二项树

  价格二项树的创建由估值日向期权到期日一步一步向前推。

  在每一步,假设标的资产价格都会移动u或者d(u>=1, 0<d<=1)。所以,如果S是当前价格,那么在下一步,价格会变成Su=S*u,或者Sd=S*d。价格移动的幅度取决于标的资产价格的波动率σ,和每一步的以年表示的时间长度t。


  如果标的资产价格向上移动u,再向下移动 d, 那么价格又回到了移动之前。这个特性让每个节点的资产价格能通过简单的公式计算出来,而不需要首先构建价格二项树。


  其中,Nu是价格向上运行的次数,Nd是价格向下运动的次数。

  第二步:找出每个最终节点上的期权价值

  在二项树的每一个最终节点上,即期权的到期日,期权的价格为它的内在价值,也就是执行价值。

  对于认购期权:Max [(Sn-K), 0 ]

  对于认沽期权:Max [ (K–Sn), 0 ]

  其中

  K是期权的行权价格;

  Sn是标的资产在第n个节点的价格。

  第三步:找出更早节点上期权的价值

  1) 在风险中性假设下,今天一个衍生品的公允价格等于它以无风险利率来折现的未来收益的期望价值。因此,期望价值的可由之后的两个节点计算得出,分别给价格向上运动赋予概率p,给价格向下运动的赋予概率(1-p)。

  期权价值 = [ p × Option up + (1-p) × Option down] × exp (- r × Δt)

  或者


  其中

  是C(t,i)第i个节点在时间t的价值;

  


  是标的资产价格向上运动的概率;

  q 是标的资产在期权到期前的股息收益率。

  2) 根据此方法,求出来的即为二项树价值。它代表了给定价格变化的情况下,期权在特点时点的公允价值。

  3) 根据期权类型的不同,判断每一个节点上期权提前执行的概率:如果期权能够执行,且行权价值高于二项树价值;那么节点价值为行权价值。

  对于欧式期权,期权不能提前执行,二项树价值可应用于所有节点。

  对于美式期权,因为期权可以持有,也可在到期日前行权,所以在每个节点上,期权价值为Max(二项树价值,行权价值)。

  

(责任编辑:HF047)

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