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复制与无风险套利 -50ETF期权的无风险套利机会分析

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2015-11-26 11:05:15 来源:和讯网  作者:徽商期货 蒋贤辉

  成文日期:2015.11.26

   摘要:摘要:本文首先阐述了无套利原理,认为无套利原理既在金融理论研究和实际交易中理解和发现无风险套利机会起着重要的作用。在此基础上,简单描述了期权平价公式的推导。最后,在分析三种复制套利过程的基础上,得出了对期权存在的无风险套利机会的基本原则、操作方法和实际案例分析。

  一、无套利原理与市场错误

  无套利原理在衍生品定价领域里有着及其重要的作用,使得衍生品理论价格可以用一个数学模型来表达,理解无套利原理在实际的操作中有利于理解和发现无风险套利机会。为了让投资者掌握无套利原理,在此,笔者将用生活化的语言来描述无套利原理。生活中,我们也时不时在使用无套利原理,比如在商场购物,你会货比三家,在比较的过程中,你会经常发现同样的商品在不同的商场可能售价不同,这时聪明的你会选择便宜的商品进行购买,当然也不排除一些人由于价高质好的心理效应选择贵的买。假如你是一个经销商,在批发商品的过程中,无套利原理体现得更充分。在选择商品时,你会选择便宜的,这样所带来的利润会更多,假如你可以从便宜的批发商处选择商品卖给价格贵的经营同样商品的批发商,那么在这笔生意中你将获得无风险收益。这样的操作多了,价格贵的批发商在得知之后,会将商品降价出售,最后你的无风险收益将会趋于零,最终你将失去套利的空间。在资本市场中,无套利原理无处不在。如果资产A和资产B的属性相同,那么他们理应具有同样的价格从而使得资本市场无套利,然而,资本市场中资产的价格是交易出来的,在交易的过程中会经常导致同样属性的资产会有不同的价格表现从而形成了套利的机会,在套利的驱使下,同样属性不同价格的资产最终价格会趋于一致以至恢复到无套利。同样属性的资产具有了不同的价格,说明市场便发生了错误,如果投资者此时能够利用这个市场错误,将赚取无风险收益。

  二、PCP平价的推导

  假设现在时刻为t,你买入执行价为K,到期日为T的一个Call和卖出同一个执行价、同一到期日的Put,这样在T时刻你将获得的回报为:

  max{S(T)-K}-max{K-S(T)}=S(T)-K

  如图所示:

  图1:期权复制标的的过程

  


  有什么样的方式可以获得与上述组合同样的现金流回报呢?如果t时刻买入标的S,价格是S(t),持有到T时刻S资产的价格将为S(T),在t时刻准备一笔现金以保证在T时刻可以支出K数量的现金,那么在T时刻获得的现金流将与上述组合的现金流相同,即:S(T)-K。可以看出,两个组合的现金流回报在T时刻都相同意味着这两个组合应该在任意时刻具有同等的价值,在t时刻也不例外。

  在t时刻,第一个组合的价值为c-p,持有资产S和到期支付现金K的第二个组合的价值为S(t)-Ke^(-r(T-t) ),其中r表示市场无风险利率,因此:

  c-p=S(t)-Ke^(-r(T-t) )

  这即为PCP平价公式。如果两个组合在某一时刻的价格偏离将带来无风险套利的机会,考虑到交易成本的存在,这两个组合的价差要偏离足够远以至于价差超过交易成本,假设交易成本为Cost,组合的价差为Spread,你的获利Profit将是如下:

  Profit=Spread-Cost

  为了说明问题,在以下的分析中不考虑交易成本,投资者只要把以下分析得出的无套利收益减去自己的交易成本即可获得最终的无套利收益。

  三、复制与无风险套利的机会

  在无套利原理下,PCP平价将是成立的,若市场偏离将存在套利机会。从PCP公式中又可以得出多种形式的套利机会,每种变形都给予了公式一定的含义,具体来看,可以分为复制标的、复制Call、复制Put以及复制相应的债券等方式的套利。

  (一)复制标的与套利

  将公式

  c-p= S(t)-Ke^(-r(T-t) )

  变形为

  S(t)=c-p+Ke^(-r(T-t) )

  从上式可以得出,持有Call多头、Put空头以及持有Ke^(-r(T-t))数量的现金就等同于持有标的从而复制了标的。如果该组合的价格与标的价格偏离将带来无风险套利的机会。具体来说,如果组合的价格大于标的价格则卖出组合买入标的,否则,如果组合的价格低于标的价格则买入组合卖出标的。由于做空现货的限制,后一种情况操作不容易实现。

  对于上述前一种操作:卖出1张Call,买入同样执行价格、到期日的Put,以无风险利率借入Ke^(-r(T-t) )数量的现金,同时买入标的。期初,组合的价值为p-c+S(t)-Ke^(-r(T-t) ),获得的现金流为c-p-S(T)+Ke^(-r(T-t) )>0

  情景1: S(T)>=K

  如果到期时标的价格S大于执行价格K,则Call被行权,Put不行权,Call被行权获得现金流为K,将持有的标的S卖给对方,同时将K数量的现金流偿付。期末,组合的价值为0,支出的现金流为0,获得的无风险收益为c-p-S(T)+Ke^(-rt)。

  表1:组合在t时刻和在到期(T)时S(T)>=K情况下的价值

  


  如果到期时标的价格S小于执行价格K,则Call不被行权,Put行权,Put行权带来的现金流为K,将持有的标的S卖给对方,同时将K数量的现金流偿付。期末,组合的价值为0,支出的现金流为0,获得无风险收益为c-p-S(T)+Ke^(-r(T-t) )。

  表2:组合在t时刻和在到期(T)时S(T)<=K情况下的价值

  


  (二)复制Call与套利

  将公式再次变形为

  c=p+ S(t)-Ke^(-r(T-t) )

  可以看出,持有Put和标的S同时以利率r借入现金这个组合相当于持有Call,如果组合的价格与Call的价格不相等的时候将带来套利的机会。具体来说,当组合的价格比Call的价格低时,买入组合卖出Call;当组合的价格比Call的价格高的时候,卖出组合买入Call。由于受融券限制不能方便做空标的S,在操作中前者的操作运用较为普遍。经过分析可以得出在组合价格比Call价格低时通过买入组合卖出Call在t时刻和到期T时刻的价值变化与上述(一)中的套利价值变化相同,期初和期末所发生的现金流相同。

   (三)复制Put与套利

  将公式再次变形为

  p=c-S(T)+Ke^(-r(T-t) )

  可以看出,持有Call和卖空标的S同时以利率r存入现金的这个组合相当于持有Put,如果组合的价格与Put的价格不相等的时候就存在套利的机会。具体来说,当组合的价格比Put的价格低时,买入组合卖出Put;当组合的价格比Put的价格高的时候,卖出组合买入Put。由于受融券限制不能方便做空标的S,在操作中后者的操作运用较为普遍。经过分析可以得出在组合价格比Put价格高时通过卖出组合买入Put在t时刻和到期T时刻的价值变化与上述(一)中的套利价值变化相同,期初和期末所发生的现金流相同。

  综合上述分析,可以发现,无论是复制标的、复制Call和复制Put的套利,只是复制的目标含义不一样,具体的操作手段都是一样的,由于融券的限制,在具体操作时就剩下一种操作手段了,即:当有套利的机会出现时,卖出Call、以利率r借入现金、买入标的同时卖出Put。

  将公式变形为

  Ke^(-r(T-t) )=p-c+S(T)

  从上式可知,问题将变得简单,当上式的右边小于左边时,只要买入Put、卖出Call同时买入标的S,而左边就是你的资金和资金成本。具体来看,在期初t时刻,买入Put、卖出Call同时买入标的S这个操作为存在净支出,假设净支出为现金D。在期末T时刻,如果S(T)≥K,Call被行权带来现金流K,同时将标的S卖给对方,Put不行权;如果S(T)

  四、案例

  无风险套利的机会在市场上不是随时都有,特别在交易活跃的品种中,这种机会就更少,因为资金是聪明的,一旦出现无风险套利的机会便会及时抓住,因此,无风险套利机会稍纵即逝。下面以12月到期的50ETF期权两个月以来的历史收盘价数据来展示怎样在盘中捕捉这样的机会。

  表格3和表格4分别给出了从9月28日以来到11月26日每一天的无风险收益率的情况,我们发现,基本上都是0值以下,这恰好证实了无风险套利机会的稀少,同时从侧面反映了现货市场做空力量的不成熟,换句话说,难通过融券做空50ETF。倘若可以很方便的融券做空,那么,投资者看到这张表格后将会极大欢喜,因为通过与前述所描述的操作相反即融券做空、买入Call和卖出Put将会有非常多的无风险套利机会,这种套利机会的存在又会迫使标的价格趋于一个更为合理的区间。因此,通过分析,也说明了成熟市场该有的规律:如果市场多空双方力量能够得到均衡,衍生品市场发展足够强大,那么市场的效率将会更高,自我调节的能力将会更强。

  



  通过数据的捕捉,我们发现,在这么多的交易时间和执行价格里,12月50ETF期权只有两对出现了比较好的无风险套利机会,分别是2015年11月12日执行价为3.3的期权和2015年11月9日执行价为3.4的期权。其中2015年11月12日执行价为3.3的期权无风险收益额是118元/张,无风险收益率为3.19%,2015年11月9日执行价为3.4的期权无风险收益额是227元/张,无风险收益率为5.57%。

  表5:无风险收益额统计情况

  


  表6:无风险收益率统计情况

  


  下面以2015年11月9日执行价为3.4的期权为例来说明该无风险收益额和无风险收益率是怎样得到的。

  在11月9日这天,花费8550元买进一张Put,卖出一张Call收入97元,买进10000股50ETF,价格25320元,期初的支出25320+8550-97=33773元,在12月23日到期时,如果ETF价格大于3.4,Call 被行权卖出持有的ETF,Put不行权,最终得到34000元,如果ETF价格小于3.4,Call不被行权,Put行权卖出持有的ETF获得34000元,因此,无风险套利利润为34000-33773=227元,年化无风险收益率约为5.58%。

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