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交易中潜在的获利机会——标准Delta与偏度调整的Delta的比较研究

2018-08-20 09:38:11 和讯网  银河期货 吴元华

  希腊字母已经在期权交易及分析得到了非常广泛的应用,有关常用的4个希腊字母(Delta、Gamma、Vega、Theta)的应用也被许多交易员进行了深入的挖掘,在此基础上建立起来的研究及交易逻辑也鳞次栉比,可以说希腊字母作为期权风险管理的工具被普通投资者应用的炉火纯青。

  但是从希腊字母的本质上考虑,是不是还是遗漏了一些东西?对于不同市场来说,希腊字母特性有不同的表现,如果没有从“地基”确认希腊字母的有效性,那之后的一系列发展都会成为“空中楼阁”。因此本文着眼于希腊字母,尤其是Delta的本质研究——在市场行情不断来来回回中,波动率结构的变化是否会对标准Delta的准确性造成影响。

  要判断Delta是否准确,需要从Delta的定义入手。Delta衡量的实际上是一个变化率,即标的资产价格的变化会影响多少期权价格的变化。实际计算的时候只需要将计算期权价格的Black-Scholes公式以标的资产为底进行求导,即可得出Delta的计算公式。

  以上是Delta的由来思路,看上去非常的简单,但其中值得深度思考的地方非常多。首先,Delta不是一个独立的变量,它的变化会受到其他很多除了标的资产以外的因素影响。这一点可以从希腊字母Gamma上体现:Gamma的意义为标的资产的价格变化对Delta的影响。从这一点可以看出,Delta不是一个静态指标,他会随着行情的变化而变化,而这个变化情况,一部分是可以通过Gamma得到,还有一些零散的部分可以通过Vanna(隐含波动率变化对Delta的影响)以及其他更深层求导的希腊字母获得。

  以上这些是从不同理论角度衡量Delta值从而会产生的变化,但是还有一种变化是属于特征性的,即因为市场的不理性情绪从而导致的Delta值变化。这类变化从理论公式上很难捕捉到,只有从市场数据出发,进行一定的数据处理才能发现,这一类的影响一般来自于波动率结构的变化。

  波动率结构的意思是将不同行权价的隐含波动率画在一张图上,横坐标为行权价,纵坐标为相对应的隐含波动率,通常来说,这条线会是一个笑脸的样子,被称为波动率微笑,如下图所示:

图1: 50ETF期权当月合约及次月合约波动率结构(2018年8月15日)
图1: 50ETF期权当月合约及次月合约波动率结构(2018年8月15日)

  在Black-Scholes模型中,使用的是对数正态分布,从而排除了数据分布的异方差(不同时间不同行权价的方差相同)特性。因此对于每个行权价来说,它们的隐含波动率(即标准差:方差开根号)应该是一样的,从而导致不同行权价的隐含波动率连线应该是一条水平的直线。然而在现实市场中,因为投资者情绪的影响,总会有人强烈看涨或强烈看跌,从而去买距平值较远的虚值期权,导致波动率结构右边尾部或左边尾部的翘起。另一方面,某些市场的固有特征也会导致偏度的产生,例如豆粕期权市场,经常会受到美国农业部报告影响,从而导致豆粕大涨,因此它固有的就是一个波动率往右偏的市场。这种波动率结构的变化程度称为波动率偏度,通常也可以衍生出一种交易模式——偏度交易。

  而本文中我们讨论的重点在于,市场情绪导致的波动率偏度是否会对我们的标准Delta产生影响从而导致我们使用了有偏差的Delta。因此我们需要计算考虑了偏度对Delta影响,从而调整后的Delta,在后文中就用SDelta来进行指代。我们的目的是衡量SDelta与标准的Delta在真实市场的表现到底孰优孰劣,这就需要站在前人的理论知识上进行一系列的研究。

  这种SDelta的关系可以从图2中的公式得到启发:

  图2:SDelta计算公式

  这个公式看着复杂,其实非常容易理解,最左边的一项是SDelta,中间这项是标准Delta,而最右边这项为Vega (期权价格根据隐含波动率的变化而变化的数量)乘以 隐含波动率对于标的资产变化的敏感度。简单来说,就是标的资产价格的变化会导致相应的隐含波动率发生变化,而波动率变化又会通过Vega体现在期权价格上面。这个传导过程以50ETF举例如下图所示:

图3:50ETF行情变动通过波动率偏度影响期权价格传导流程图
图3:50ETF行情变动通过波动率偏度影响期权价格传导流程图

  从这个流程图上看,很难看出为什么是偏度影响了Delta的变化,而从图2的公式中这更容易理解。最后一项敏感系数代表了标的资产变化影响隐含波动率变化,而这一项往往非常难以求得,因为隐含波动率是期权市场上交易出的波动率,如果没有相应的合约怎么求得这个斜率呢?在此处为了达到方便计算的目的,我们可以将这个连续过程根据行权价分解成不连续的近似过程来计算,即将图2的公式近似变更为:

  图4:SDelta近似计算公式

  使用图4的公式,便可以轻松的计算出SDelta的数值。根据著名的量化分析师E. Derman 1994年以及1999年的研究,该敏感系数往往可以看成是线性变化的,因此可以用最小二乘法来进行衡量两者间的关系。而这两者间关系的最直接意义是,行情变化会导致波动率怎么变。依据海外市场的经验,当股票市场行情出现大幅下跌时,隐含波动率呈现上升状态;当股票市场上涨时,隐含波动率呈现下降状态。由此可知在大部分海外市场该系数一般为负值,而买认购期权时Vega均为正值,因此在海外市场买认购期权的SDelta均呈现比标准Delta小的情况。

  为了厘清我们国家金融期权市场的具体情况,之后的具体实测都使用50ETF期权的数据来进行。对于对比评价Delta与SDelta的表现,S. VÄHÄMAA (2004) 提出了一种方法:通过建立一个自融资投资组合来衡量使用两种Delta的对冲情况。这个组合具体包括:1份卖认购期权,与Delta数值相同份的标的资产与B份无风险债券。具体的逻辑为:在开始前保证组合价值为0,在每一个时间检查点时检查组合的价值是否为0;如果不为0,则调整无风险债券的份数,使组合价值为0。每一个时间点所计算的偏离值取出,再通过以下两种类型的公式求出与0的偏离值,从而计算出动态Delta对冲的误差:

交易中潜在的获利机会——标准Delta与偏度调整的Delta的比较研究

图5:衡量两种Delta表现的两种误差计算公式

  MAHE(平均绝对值对冲误差)和RMSHE(平方差对冲误差)都是衡量误差的标准,简单来说,其值越小越好。

  而对于图4公式中敏感系数的计算,使用最小二乘法还需要确定包括容纳哪些相应的合约。从50ETF期权的特性看,其总会在平值行权价附近加挂上下两档合约,因此50ETF期权必然会存在5档合约在市场交易,因此我们取计算最小二乘法斜率的范围便使用平值以及其上下两档行权价的合约共5个合约。下图是计算出的50ETF上市开始到2018年7月24日的斜率分布图:

交易中潜在的获利机会——标准Delta与偏度调整的Delta的比较研究

  从图6、图7中可以看出,认购期权大部分数据都分散在数值为正的区间,其平均值为0.38;认沽期权大部分数据分散在数值为负的区间,其平均值为-0.19。此处因为组合是通过认购期权建立,因此我们研究的斜率数据主要为认购期权的数据。用认购期权组成的斜率为正,说明当行情上升时,隐含波动率走势均为上升状态。这种现象与S. VÄHÄMAA (2004)研究的海外市场明显不同,在海外市场的日间交易,无论是认购或认沽期权,行情上升时隐含波动率走势下降,行情下降时隐含波动率上升。唯一合理的解释是A股市场的参与者可能对于行情有强烈的踏空心理,当行情上涨时怕错过行情,因此会去追逐行情;在行情下跌时也会有同样追逐的心理,因此该斜率呈现一个正相关的状态。而去除行情大幅上涨下跌的年份,仅从2018年至今的数据进行分析,可以看到市场呈现负相关的情况较多,这也显示了我国金融期权从较为极端的情况往与海外市场类似的情况靠近的趋势(如表1所示)。

  表1:认购认沽斜率区间平均值对比

斜率值 2015年 2016年 2017年 2018年 总计
认购期权 0.65 0.57 0.21 -0.04 0.38
认沽期权 -0.05 0.03 -0.46 -0.29 -0.19

  在明确了市场的基本特征后,我们可以通过上述研究计算出需要对比的相关数据:

  表2:Delta与SDelta表现对比

平均值 MAHE RMSHE
Delta 0.5544 0.7829 0.7632
SDelta 0.5545 0.7831 0.7635

  从表2中可以看出,SDelta的偏离值与标准Delta相差并不太多。并且从衡量对冲偏差来看,标准Delta的MAHE与RMSHE的值都比SDelta要低了许多,说明在50ETF市场中,标准Delta对冲的误差要更小一些,应用效果从长期看相对会更好。

  对于SDelta和标准Delta的优劣性,也有许多前人的研究的判断。Dumas(1998)认为标准Delta提供了更准确的数据;Coleman(2003)和VÄHÄMAA (2004)均认为SDelta比标准Delta更有优势;Crepey(2004)认为在负偏市场中SDelta表现比标准Delta要好。而针对更细分的研究来说,Bakshi(2002)发现对于价外的认沽期权来说,SDelta比标准Delta要小;但对于价内期权来说,SDelta比标准Delta要大。总之对于SDelta来说,还有许多方面的研究需要拓展,尤其是在不同市场,不同标的,不同情景下的研究,可能会给未来交易带来潜在的获利机会。

  作者简介:

  吴元华,英国卡斯商学院数量金融硕士,现任银河期货期权高级研究员。两年私募、FOF基金从业经验,擅长研发技术面类型策略,并将其与期权实战交易相结合,通过各种数学软件(如Matlab)优化交易策略,构筑结构化产品。

(责任编辑:邵一迪 HF116)
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